De quantas maneiras posso colocar 4 bolas brancas, em 10 caixas (em fila), de modo que não fiquem bolas em caixas contíguas?

Categoria: Matemática 8 years ago
qnz8eé Duarte
Perguntado 8 years ago
qnz8eé Duarte

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Ao nível do ensino básico não é fácil explicar este procedimento. Para acelerar o processo de contagens precisamos da "ferramenta" das combinações. Ao nível do ensino básico a maneira que estou a ver é fazer a contagem por exaustão! Se para 7 caixas é fácil ver que só existe 1 possibilidade também é relativamente fácil verificar que para 8 copos há 15.

Para 9 copos existem 15 possibilidades e a sua verificação ainda é admissível. Com 10 copos temos não 28 maneiras diferentes, mas sim 35! Aqui não encontro nenhum padrão que possa fazer com que descubra facilmente para 11 caixas, para 12... etc. Para fazer este método exaustivo, usei o Excel, que se torna mais fácil. (aqui o exemplo para 10 caixas: http://imageshack.us/photo/my-images/842/10cxe.jpg/ ). Há que ter algum cuidado quando se pretende encontrar padrões. Se nos primeiros casos pode haver alguma relação, nos seguintes já pode falhar. Para 11 copos não existem 60, mas sim 70. E, se não me enganei, para 12 copos existem 126 possibilidades.



Já agora, caso tivesse usado a ferramenta das combinações encontraria o padrão:



7 caixas - 1 possibilidade - 4C0

8 caixas - 5 possibilidades - 5C1

9 caixas - 15 possibilidade - 6C2

10 caixas - 35 possibilidades - 7C3

11 caixas - 70 possibilidades - 8C4

12 caixas - 126 possibilidades - 9C5

(...)

50 caixas - 178 365 possibilidades - 47C43

(...)

100 caixas - 3 464 840 possibilidades - 97C93



Note-se a diferença entre as caixas e o índice superior de C é sempre 3 e entre as caixas e o índice inferior é sempre 7.
Nuno Martins
Respondido 8 years ago
Nuno Martins

Pode arranjar as 4 bolas de 28 maneiras diferentes, nas 10 caixas.



Explicação:

Com sete caixas só pode colocar de uma forma, nas caixas 1,3,5,7.

Com oito caixas tem 5 arranqnz8e.

Com nove caixas tem 12 arranqnz8e.

Com dez caixas tem os 12 arranqnz8e, das nove caixas, mais 16 novos arranqnz8e que aparecem com a caixa 10.

No total podemos arranjar as bolas de forma não contígua nas caixas de 28 maneiras diferentes.

Se continuarmos a acrescentar caixas (por exemplo 11) podemos descobrir facilmente o número de arranqnz8e. Somamos 4 à anterior possibilidade, 28+4=32, e somamos este resultado (32) aos 28 do arranjo com 10 caixas, 32+28=60, por isso só por curiosidade com 11 caixas haveriam 60 maneiras de colocar bem as bolas.
David Azevedo
Respondido 8 years ago
David Azevedo

Penso que o Nuno Martins acertou em cheio! Eu tinha feito o mesmo esquema à mão e escaparam-me combinações.



Obrigado por resolver esta dúvida.



Vou marcar a questão como resolvida!
David Azevedo
Respondido 8 years ago
David Azevedo